DIAGRAMA DE ÁRBOL

 Diagrama de árbol

DEFINICION:

El diagrama en donde se listan todas las posibilidades de un suceso por casos y se representa por líneas rectas se conoce como diagrama de árbol, el diagrama de la solución es un ejemplo de diagrama de árbol.

En los eventos sobre extracción de objetos, se dice que es con reemplazo cuando al extraer un objeto este se devuelve al grupo de extracción, y sin reemplazo cuando el objeto no se devuelve.

EJEMPLO:

Hay 4 tarjetas numeradas de la siguiente manera 1, 1, 2, 3; determina de cuántas formas se pueden colocar tres de ellas en una fila.

SOLUCION:

Analizando la posición de las tarjetas como muestra el siguiente diagrama.

A partir de él se puede observar que cada camino que se pueda tomar es una forma en que se pueden colocar las tres cartas, y estas se pueden contar a partir de la última columna de tarjetas numeradas.

Por lo tanto, hay 12 formas.

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CADINALIDAD DE CONJUNTOS.

Cardinalidad de conjuntos.

EJEMPLO:

Considerando los conjuntos A y B representados por el diagrama de Venn de la derecha, resuelve:

 a) ¿Cuántos elementos tiene A? 

b) ¿Cuántos elementos tiene B? 

c) ¿Cuántos elementos tiene A⋂B? 

d) ¿Cuántos elementos tiene A⋃B?

e) ¿Cuántos elementos tiene A^c?

SOLUCION:

El conjunto universo es: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 

a) Identificando el conjunto A = {1, 2, 3}, entonces el número de elementos de A será: n(A) = 3.

b) Identificando el conjunto B = {1, 3, 4, 6}, entonces el número de elementos de B será: n(B) = 4. 

c) Identificando el conjunto A⋂B = {1, 3}, entonces el número de elementos de A⋂B será: n(A⋂B) = 2.

d) Identificando el conjunto A⋃B = {1, 2, 3, 4, 6}, entonces el número de elementos de A⋃B será: n(A⋃B) = 5. e) Identificando el conjunto Ac = {4, 5, 6, 7}, entonces el número de elementos de A^c será: n (A^c ) = 4.

CONCLUSION:

Considerando los conjuntos A y B de modo que n(A) = a, n(B) = b y n(A⋂B) = c, entonces se cumple que

n(A⋃B) = (a – c) + (b – c) + c

               = a + b – c.

Y esto es equivalente a tener:

n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B).

De forma parecida analizando Ac como los elementos de U que no están en A se puede concluir que

n(A^c) = n(U) – n(A).

En general, para los conjuntos U, A y B se cumple que

n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),

n(Ac ) = n(U) – n(A).

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OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Operaciones con conjuntos.

DEFINICION:

Conjunto: es una colección de objetos de un cierto tipo.

EJEMPLO:

Considerando los conjuntos A = {2, 4, 5, 7} y B = {1, 3, 4, 5, 9}.

a) Determina el conjunto de los elementos que están en A o en B.

b) Determina el conjunto de los elementos que están tanto en A como en B.

c) Determina el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B.

d) Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determina el conjunto de los elementos que están en U pero no están en A

SOLUCION:

a) El conjunto es: {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.

b) El conjunto es: {4, 5}.

c) El conjunto es: {2, 7}. 

d) El conjunto es: {1, 3, 6, 8 ,9, 10}

CONCLUSION:

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están en A o en B se conoce como unión de conjuntos, se denota A⋃B, y se lee “A unido B”.

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están tanto en A como en B se conoce como intersección de conjuntos, se denota A⋂B, y se lee “A intersectado B”.

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B se conoce como diferencia de conjuntos, y se denota A – B.

La operación entre dos conjuntos A y U que cumplen que A ⊂ U y toma los elementos de U que no están en A se conoce como complemento del conjunto A, y se denota A^c. Al conjunto U a menudo se le conoce como conjunto universo o simplemente universo.

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