DIAGRAMA DE ÁRBOL

 Diagrama de árbol

DEFINICION:

El diagrama en donde se listan todas las posibilidades de un suceso por casos y se representa por líneas rectas se conoce como diagrama de árbol, el diagrama de la solución es un ejemplo de diagrama de árbol.

En los eventos sobre extracción de objetos, se dice que es con reemplazo cuando al extraer un objeto este se devuelve al grupo de extracción, y sin reemplazo cuando el objeto no se devuelve.

EJEMPLO:

Hay 4 tarjetas numeradas de la siguiente manera 1, 1, 2, 3; determina de cuántas formas se pueden colocar tres de ellas en una fila.

SOLUCION:

Analizando la posición de las tarjetas como muestra el siguiente diagrama.

A partir de él se puede observar que cada camino que se pueda tomar es una forma en que se pueden colocar las tres cartas, y estas se pueden contar a partir de la última columna de tarjetas numeradas.

Por lo tanto, hay 12 formas.

VIDEO:

 

CADINALIDAD DE CONJUNTOS.

Cardinalidad de conjuntos.

EJEMPLO:

Considerando los conjuntos A y B representados por el diagrama de Venn de la derecha, resuelve:

 a) ¿Cuántos elementos tiene A? 

b) ¿Cuántos elementos tiene B? 

c) ¿Cuántos elementos tiene A⋂B? 

d) ¿Cuántos elementos tiene A⋃B?

e) ¿Cuántos elementos tiene A^c?

SOLUCION:

El conjunto universo es: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 

a) Identificando el conjunto A = {1, 2, 3}, entonces el número de elementos de A será: n(A) = 3.

b) Identificando el conjunto B = {1, 3, 4, 6}, entonces el número de elementos de B será: n(B) = 4. 

c) Identificando el conjunto A⋂B = {1, 3}, entonces el número de elementos de A⋂B será: n(A⋂B) = 2.

d) Identificando el conjunto A⋃B = {1, 2, 3, 4, 6}, entonces el número de elementos de A⋃B será: n(A⋃B) = 5. e) Identificando el conjunto Ac = {4, 5, 6, 7}, entonces el número de elementos de A^c será: n (A^c ) = 4.

CONCLUSION:

Considerando los conjuntos A y B de modo que n(A) = a, n(B) = b y n(A⋂B) = c, entonces se cumple que

n(A⋃B) = (a – c) + (b – c) + c

               = a + b – c.

Y esto es equivalente a tener:

n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B).

De forma parecida analizando Ac como los elementos de U que no están en A se puede concluir que

n(A^c) = n(U) – n(A).

En general, para los conjuntos U, A y B se cumple que

n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),

n(Ac ) = n(U) – n(A).

VIDEO:

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

Operaciones con conjuntos.

DEFINICION:

Conjunto: es una colección de objetos de un cierto tipo.

EJEMPLO:

Considerando los conjuntos A = {2, 4, 5, 7} y B = {1, 3, 4, 5, 9}.

a) Determina el conjunto de los elementos que están en A o en B.

b) Determina el conjunto de los elementos que están tanto en A como en B.

c) Determina el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B.

d) Considerando U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determina el conjunto de los elementos que están en U pero no están en A

SOLUCION:

a) El conjunto es: {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}.

b) El conjunto es: {4, 5}.

c) El conjunto es: {2, 7}. 

d) El conjunto es: {1, 3, 6, 8 ,9, 10}

CONCLUSION:

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están en A o en B se conoce como unión de conjuntos, se denota A⋃B, y se lee “A unido B”.

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están tanto en A como en B se conoce como intersección de conjuntos, se denota A⋂B, y se lee “A intersectado B”.

La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B se conoce como diferencia de conjuntos, y se denota A – B.

La operación entre dos conjuntos A y U que cumplen que A ⊂ U y toma los elementos de U que no están en A se conoce como complemento del conjunto A, y se denota A^c. Al conjunto U a menudo se le conoce como conjunto universo o simplemente universo.

VIDEO:

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS.

Sumas y restas combinadas de números positivos y negativos.

EJEMPLO:

Observa que la operación 4 – 8 se puede escribir como (+4) – (+8) y luego expresarse como una suma de números positivos y negativos (+4) + (–8).

Igualmente – 3 – 7 se puede escribir como (–3) – (+7) y luego expresarse como una suma de números positivos y negativos (–3) + (–7).

Ahora expresa como suma de números positivos y negativos la siguiente operación que combina sumas y restas de números positivos: 5 – 6 + 8 – 4

SOLUCION:

5 – 6 + 8 – 4 = (+5) – (+6) + (+8) – (+4)

                      = (+5) + (–6) + (+8) + (–4)

De modo que

5 – 6 + 8 – 4 = (+5) + (–6) + (+8) + (–4).

CONCLUSION:

En general, las operaciones que combinan suman y resta de números positivos y negativos, omitiendo los paréntesis de los números que intervienen en la operación, se pueden expresar como una suma de números positivos y negativos.

Así la expresión: 5 – 6 + 8 – 4 ... 1

se puede expresar como: (+5) + (–6) + (+8) + (–4) ... 2

En la operación 5 – 6 + 8 – 4 los números +5, –6, +8 y – 4 se les llama términos.

Se debe observar que en 1 se omiten los paréntesis y los signos + que denotan la adición en 2, y también que en el primer término cuando es positivo no se escribe el signo. A la acción de omitir la escritura de los paréntesis comúnmente se le llama suprimir los paréntesis, y se puede hacer siempre y cuando sea un signo + el que antecede a los paréntesis, en caso contrario debe cambiarse la resta a suma, según la regla trabajada en las 2 clases anteriores.

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PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA DE LA SUMA.

Propiedad conmutativa y asociativa de la suma.

EJEMPLO:

Para cada literal, ¿son iguales los resultados obtenidos en la Operación 1 y Operación 2?

a)      Operación 1                                        b)      Operación 1

(‒3) + (+4)                                          [(‒5) + (‒7)] + (+15)

         Operación 2                                            Operación 2

(+4) + (‒3)                                           (‒5) + [(‒7) + (+15)

SOLUCION:

R. Los resultados de la Operación 1 y Operación 2 son iguales en ambos literales.

CONCLUSION:

La suma de dos números positivos o negativos no depende del orden de los sumandos. A esto se le llama Propiedad conmutativa.

a + b = b + a

La suma de varios números positivos o negativos no depende de la forma en que se asocian. A esto se le llama Propiedad asociativa.

(a + b) + c = a + (b + c)

Cuando en una operación ya se ha utilizado paréntesis, y se requiere utilizar otro signo de agrupación se utilizan los corchetes.

VIDEO:

SUMA CON NÚMEROS DECIMALES O FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS.

Suma con números decimales o fracciones positivas y negativas.

EJEMPLO:

Calcula las siguientes sumas:

           

SOLUCION:

CONCLUSION:

Las reglas para realizar la suma de dos números positivos o negativos que son decimales o fracciones son las mismas que se establecieron en las tres clases anteriores.

1. Para sumar dos números que tienen el mismo signo, se escribe ese signo y se suman los valores absolutos.

2. Para sumar dos números que tienen diferente signo y valor absoluto, se escribe el signo del número con mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos, restando el menor del mayor. En caso de que los números sean opuestos la suma es cero.

3. Si se suma cero a un número el resultado es el número o si se suma un número al cero el resultado es el número.

Por ejemplo:

VIDEO:

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO REGULAR.

Suma de los ángulos internos de un polígono regular.

EJEMPLO:

Para el hexágono regular que se muestra determina:

Para el hexágono regular que se muestra determina:

a) La medida de cada uno de sus ángulos internos. 

b) El valor de x.     

 NOTA:

Un polígono regular tiene todos sus ángulos internos iguales.

SOLUCION:

a)

    
Los ángulos internos del hexágono suman 180° × (6 ‒ 2) = 720°, por tanto: Cada ángulo interno mide 720°, por lo tanto:

 Cada ángulo interno mide 720° /6 = 120°

 b)  

A partir del literal a) se tiene que cada ángulo interno mide 120°. Como x es un ángulo externo, entonces x + 120° = 180°, por tanto x= 60°

CONCLUSIÓN:

En un polígono regular todos los ángulos internos son iguales y la suma es igual a 180° × (n – 2). Además, todos los ángulos externos, también son iguales entre sí.

VIDEO: