SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS.

Sumas y restas combinadas de números positivos y negativos.

EJEMPLO:

Observa que la operación 4 – 8 se puede escribir como (+4) – (+8) y luego expresarse como una suma de números positivos y negativos (+4) + (–8).

Igualmente – 3 – 7 se puede escribir como (–3) – (+7) y luego expresarse como una suma de números positivos y negativos (–3) + (–7).

Ahora expresa como suma de números positivos y negativos la siguiente operación que combina sumas y restas de números positivos: 5 – 6 + 8 – 4

SOLUCION:

5 – 6 + 8 – 4 = (+5) – (+6) + (+8) – (+4)

                      = (+5) + (–6) + (+8) + (–4)

De modo que

5 – 6 + 8 – 4 = (+5) + (–6) + (+8) + (–4).

CONCLUSION:

En general, las operaciones que combinan suman y resta de números positivos y negativos, omitiendo los paréntesis de los números que intervienen en la operación, se pueden expresar como una suma de números positivos y negativos.

Así la expresión: 5 – 6 + 8 – 4 ... 1

se puede expresar como: (+5) + (–6) + (+8) + (–4) ... 2

En la operación 5 – 6 + 8 – 4 los números +5, –6, +8 y – 4 se les llama términos.

Se debe observar que en 1 se omiten los paréntesis y los signos + que denotan la adición en 2, y también que en el primer término cuando es positivo no se escribe el signo. A la acción de omitir la escritura de los paréntesis comúnmente se le llama suprimir los paréntesis, y se puede hacer siempre y cuando sea un signo + el que antecede a los paréntesis, en caso contrario debe cambiarse la resta a suma, según la regla trabajada en las 2 clases anteriores.

VIDEO:

PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA DE LA SUMA.

Propiedad conmutativa y asociativa de la suma.

EJEMPLO:

Para cada literal, ¿son iguales los resultados obtenidos en la Operación 1 y Operación 2?

a)      Operación 1                                        b)      Operación 1

(‒3) + (+4)                                          [(‒5) + (‒7)] + (+15)

         Operación 2                                            Operación 2

(+4) + (‒3)                                           (‒5) + [(‒7) + (+15)

SOLUCION:

R. Los resultados de la Operación 1 y Operación 2 son iguales en ambos literales.

CONCLUSION:

La suma de dos números positivos o negativos no depende del orden de los sumandos. A esto se le llama Propiedad conmutativa.

a + b = b + a

La suma de varios números positivos o negativos no depende de la forma en que se asocian. A esto se le llama Propiedad asociativa.

(a + b) + c = a + (b + c)

Cuando en una operación ya se ha utilizado paréntesis, y se requiere utilizar otro signo de agrupación se utilizan los corchetes.

VIDEO:

SUMA CON NÚMEROS DECIMALES O FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS.

Suma con números decimales o fracciones positivas y negativas.

EJEMPLO:

Calcula las siguientes sumas:

           

SOLUCION:

CONCLUSION:

Las reglas para realizar la suma de dos números positivos o negativos que son decimales o fracciones son las mismas que se establecieron en las tres clases anteriores.

1. Para sumar dos números que tienen el mismo signo, se escribe ese signo y se suman los valores absolutos.

2. Para sumar dos números que tienen diferente signo y valor absoluto, se escribe el signo del número con mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos, restando el menor del mayor. En caso de que los números sean opuestos la suma es cero.

3. Si se suma cero a un número el resultado es el número o si se suma un número al cero el resultado es el número.

Por ejemplo:

VIDEO:

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO REGULAR.

Suma de los ángulos internos de un polígono regular.

EJEMPLO:

Para el hexágono regular que se muestra determina:

Para el hexágono regular que se muestra determina:

a) La medida de cada uno de sus ángulos internos. 

b) El valor de x.     

 NOTA:

Un polígono regular tiene todos sus ángulos internos iguales.

SOLUCION:

a)

    
Los ángulos internos del hexágono suman 180° × (6 ‒ 2) = 720°, por tanto: Cada ángulo interno mide 720°, por lo tanto:

 Cada ángulo interno mide 720° /6 = 120°

 b)  

A partir del literal a) se tiene que cada ángulo interno mide 120°. Como x es un ángulo externo, entonces x + 120° = 180°, por tanto x= 60°

CONCLUSIÓN:

En un polígono regular todos los ángulos internos son iguales y la suma es igual a 180° × (n – 2). Además, todos los ángulos externos, también son iguales entre sí.

VIDEO:

SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERNOS DE UN POLÍGONO

 Suma de los ángulos externos de un polígono.

DEFINICIÓN:

Polígono: es una figura geométrica plana que está limitada por tres o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices.

Angulo externo: es el que se forma por un lado del polígono y la prolongación del lado contiguo. En la suma de los ángulos externos se toma solo uno de cada vértice.

EJEMPLO:

Encuentra la suma de los ángulos externos de estos polígonos.

SOLUCION:

En cada uno de los vértices del triángulo se forma un ángulo de 180°, al sumar su ángulo interno con el respectivo ángulo externo. Cuando se agrega la suma de los ángulos internos y externos de los otros vértices, se tiene 180° × 3. Pero 180° × 3 contiene la suma de los ángulos internos 180° × (3 – 2); por tanto, la suma de los ángulos externos de un triángulo es: 180° × 3 – 180°(3 – 2) = 180° × [3 – (3 – 2)] = 180° × 2 = 360°

La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360°. Ahora,

¿Cómo puedes encontrar la suma de los ángulos externos del siguiente cuadrilátero?

En el cuadrilátero cada ángulo interno junto al respectivo externo suman 180°; por tanto, se tiene 180° × 4 y al restarle los ángulos internos: 180° × (4 – 2), se tiene 180° × 4 – 180° × (4– 2) = 180° × [4 – (4 – 2)] =180° × 2 = 360°.

CONCLUSION:

•La suma de los ángulos externos de un polígono no depende del número de lados.

• La suma de los ángulos externos de un polígono es 360°.

VIDEO:

CÁLCULO DE LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

EJEMPLO:

En la figura, el ∆ABC, ∆DAF, ∆EDG y ∆BEH son triángulos rectángulos y congruentes.

a) Encuentra el área del cuadrado CFGH.

b) Encuentra el área del cuadrilátero ADEB.

c) Demuestra que el cuadrilátero ADEB es un cuadrado verificando ∢BAD = 90°. d) Encuentra la medida del lado AB.

SOLUCION:

CONCLUSION:

Formando cuadrados con 4 triángulos rectángulos congruentes y calculando el área se puede calcular la medida de la hipotenusa sabiendo los catetos.

DATO INTERESANTE…

Los registros arqueológicos indican que por el año 2000 a. C., los egipcios unían 12 segmentos de soga de la misma longitud. Estiraban cinco de estos segmentos consecutivos luego tirando del lazo formaban un triángulo rígido con un ángulo recto. Este triángulo de lados 3, 4 y 5 es conocido como el triángulo sagrado egipcio.

VIDEO:

CÁLCULO DE LA MEDIDA DE UN CATETO.

Cálculo de la medida de un cateto.

Ejemplo: 

En el siguiente triángulo rectángulo ABC, encuentra la medida del cateto BC, es decir, el valor de a.

Solución:

Como el triángulo es rectángulo se cumple que (Teorema de Pitágoras)

Conclusión:

En general, en un triángulo rectángulo de lados a, b y c, debido a que se cumple que

La hipotenusa y los catetos se pueden encontrar de la siguiente manera

Video:

 

TEOREMA DE PITÁGORAS

Teorema de Pitágoras. 

Definición:

Teorema de Pitágoras es una relación fundamental en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a, b y c, a menudo llamada ecuación pitagórica; Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.

Ejemplo:

Dado el ∆ABC, tal que CA = b, AB = c y BC = a; con ∢BCA = 90°. Demuestra

Solución:

Construyendo un cuadrado que tenga como uno de sus lados la hipotenusa AB.

Al construir tres triángulos rectángulos congruentes al ∆ABC, cuyas hipotenusas sean los tres lados restantes del cuadrado ADEB, se forma el cuadrado CFGH en el que cada uno de sus lados mide a + b.

Conclusión:

En todo triángulo rectángulo se cumple que, la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa, es decir, si los lados del triángulo son a, b y c, se cumple que

Este resultado es conocido como el teorema de Pitágoras.

Video:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS MEDIANTE EL METODO DE REDUCCION.

 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante el método de reducción.

Ejemplo:

En el Mercado Central el precio de 2 piñas y 5 sandías es de 12 dólares y el de 2 piñas y 3 sandías es de 8 dólares, ¿Cuál es el precio de 1 piña y de 1 sandía?

Solución:

Si se representa gráficamente:

Conclusión:

Para resolver un sistema de ecuaciones en el que los coeficientes de una de las incógnitas tienen igual signo e igual valor absoluto:

Video.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.

 Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Ejemplo:

En la tienda Vida Sana, una libra de uvas y una de manzanas cuesta $5 y una libra de uvas y tres de manzanas cuesta $11. ¿Cuál es el precio de una libra de uvas y una libra de manzanas?

a) Representa cada condición con una ecuación.

b) Construye una tabla para determinar los pares de valores que cumplen cada ecuación.

Solución:

a)       Considera como x el precio de la libra de uvas y cómo y el precio de la libra de manzanas.

Los valores para x y y que cumplen las dos condiciones son x = 2, y = 3; entonces, el precio de una libra de uvas es de $2 y el de manzanas $3.

Conclusión:

Los valores que cumplen las dos condiciones del problema se les llama solución del sistema, entonces resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores que satisfacen las dos ecuaciones.

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ECUACIONES CON VARIABLES EN AMBOS MIEMBROS.

 Ecuaciones con variables en ambos miembros.

Ejemplo:

Carlos irá al gimnasio por 5 meses; le cobrarán 20 dólares por mes sin membresía, pero si la adquiere, pagará una cuota única de 30 dólares y 10 dólares por mes, ¿después de cuántos meses habrá gastado la misma cantidad de dinero con o sin membresía?, ¿le conviene pagar la membresía según el tiempo que ha planificado entrenar?

Solución:

Como se busca el número de meses que pasan hasta haber gastado la misma cantidad de dinero indiferentemente de la modalidad, se establece que la incógnita representa el número de meses que han pasado. Luego, el gasto mensual que se tendría, según la modalidad sería de $20 o $10 por la cantidad de meses, según sea sin o con membresía respectivamente. La igualdad se establece entre el gasto total sin haber adquirido la membresía y si se adquiriera la membresía.

Sea x: Cantidad de meses que han pasado hasta haber pagado la misma cantidad de dinero.

R/ En el mes 3 el gasto es el mismo con o sin membresía. Para que le salga más barato le conviene adquirir la membresía dado que irá por 5 meses.

Conclusión:

Para resolver una ecuación con la incógnita en ambos miembros se tiene que:

1. Transponer todos los términos que tienen x al miembro izquierdo.

2. Transponer todas las cantidades conocidas al miembro derecho.

3. Realizar las operaciones indicadas.

4. Aplicar la propiedad 3 o 4 para despejar x.

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IGUALDADES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Igualdades con ecuaciones de primer grado.

Definición:

La igualdad de dos expresiones matemáticas que incluye una variable se llama ecuación. En una ecuación al valor desconocido que se representa por una variable se llama incógnita. El valor numérico de la incógnita que cumple con la igualdad se llama solución de la ecuación y al proceso para encontrarla se le llama resolver la ecuación.

Ejemplo:

Una persona llega a la ventanilla de un banco para cobrar un cheque de 470 dólares. Después de recibir 300 dólares en billetes de 100, la cajera le informa que solo tiene billetes de 5 dólares. ¿Cuántos billetes de 5 dólares recibirá? Si se usa x para representar el número total de billetes de $5, se puede formar una igualdad usando números y una variable. Como hay que igualar el total de billetes de 100 y 5 dólares con 470 dólares, se puede formar la siguiente igualdad: 5x+300=470.

Para encontrar la cantidad de billetes de 5 dólares, se necesita conocer el valor de x en la igualdad: 5x+300=470.

Solución:

Para encontrar el valor de x se puede sustituir algunos valores aproximados y al efectuar la operación se debe verificar si cumple con el valor que se encuentra en el miembro derecho (470).

Cuando el valor de x es 34, el valor que se tiene en el miembro izquierdo es igual al valor del miembro derecho, por tanto, se cumple la igualdad matemática establecida en la ecuación. Con lo que se concluye que se recibirán 34 billetes de 5 dólares.

Conclusión:

La igualdad de dos expresiones matemáticas que incluye una variable se llama ecuación. En una ecuación al valor desconocido que se representa por una variable se llama incógnita. El valor numérico de la incógnita que cumple con la igualdad se llama solución de la ecuación y al proceso para encontrarla se le llama resolver la ecuación.

Video.